中国传统数学是中国古代科学中最重要的分支之一，它是中国古代形成体系的四大传统学科之一，其历史源远流长，文献典籍资源与数学成果相当丰富。在中国，中国数学史也是中国科学技术史中起步最早、发展最为成熟的研究领域。中国数学史的专门研究肇始于18世纪末期，到了20世纪得到长足发展，经过几代数学史家的不懈努力，对中国数学史已经理出头绪，成果至为丰硕，不仅勾勒出了中国数学发展的脉络，而且揭示出了中国传统的基本特征和固有特色。
对于中国数学史的研究来说，进行必要的编史学考察，通过历史的总结和反思，可以获得对中国数学史研究及其学科历史与现状的进一步理解，并在此基础上对其未来的发展方向有所把握。本文试图将中国数学史研究与学科发展放到长时间段内进行考察和归纳，并尝试性地对其中的一些基础性问题做进一步的探讨。
一、 引言
美国著名科学史家托马斯·库恩(Thomas S.Kuhn,1922-1996）于1962年在其经典著作《科学革命的结构》中提出了科学革命意义下的范式（paradigm）概念。库恩认为，科学发展到成熟的常规科学过程中，虽然可能存在多种竞争性范式，总有一种范式长期起着主导作用，并形成越来越多的具有解释力的范例。但当主导范式不能解释的“异例”（反常现象）不断出现且积累到一定程度时，科学界会有人寻求更具解释力和说服力的新理论，进而形成新的研究范式，此时科学革命就发生了。科学革命将导致旧范式全部或部分被一个与其势不两立的新范式取代。而科学革命的实质就是新范式取代旧范式的过程，即范式的转移（或范式的转换，Paradigm shift）。《科学革命的结构》出版之后，范式概念被不同领域的学者借用，包括社会科学和人文科学，在学术界成为一个具有更普遍意义的概念，但这一概念也受到更多的质疑。
库恩认为“范式是一个成熟的科学共同体在某段时间内所认可的研究方法、问题领域和解题标准的源头活水。因此，接受新范式，常常需要重新定义相应的科学”。[1]一门成熟的规范学科具有自己的范式，范式可由一人或多人创立，由学术共同体成员共同发展或变革。他在1969年为《科学革命的结构》第二版写的“后记”中，对颇有争论的范式概念做了澄清式的讨论,并对其与共同体的关系做了说明。库恩指出：在该书中，“范式”一词的使用，有两种不同的含义。[2]“一方面，它代表着一个特定共同体的成员所共有的信念、价值、技术等等构成的整体。另一方面,它指谓着那个整体的一种元素，即具体的谜题解答，把它们作为模型或范例，可以取代明确的规则作为常规科学中其谜难题解答的基础。”[3]库恩强调，“范式”的第二种意义在哲学上尤为深刻。不同的研究范式意味着不同的研究传统。库恩所谓的常规科学，是指那些建立在已有重要科学成就基础上的研究。这些科学成就，在一定时期内为科学共同体所认可，并构成其更进一步实践活动的基础。常规科学的实践活动是解答谜题，而这些谜题实际上是由范式所规定的。主导范式吸引了一批坚定的拥护者从事解谜活动。认同一种研究范式意味着需要放弃其它竞争性范式。
在这篇“后记”中,库恩还讨论了范式的成分。他首先强调要有“学科基质”（或译“学科母体”，disciplinary matrix）这一概念，认为这个概念更符合范式的准确含义。他指出；“在范式能摆脱其眼下的含义之前，为避免混淆我宁愿用另一个词。这个词我建议用：‘学科基质’（disciplinary matrix）：用‘学科’一词是因为它指称一个专门学科的工作人员所共有的财产；用‘基质’一词是因为它由各种各样的有序元素组成，每个元素都需要进一步界定。所有或大部分我在原书中当作范式、范式的一部分或具有范式性的团体的承诺对象，都是学科基质的组成成分，并因而形成一个整体而共同起作用。我也不会在这儿开出一张详尽的基质成分的清单，但是观察一个学科基质的主要成分类别，可以澄清我现在的进路的性质。”[4]
学科基质中包括哪些主要的成分? 库恩指出,一种是“符号化概括（symbolic generalization）”,学术共同体成员对这些理论性概括要么赞成要么反对，进行讨论，目的在于促进学科发展。一种是其形而上学的内容（metaphysicalparadigms 或the metaphysical parts of paradigms），属于共同信念，但不是指那些大而无当的信念,如相信宇宙是无限的信念，而是关于相信某种特定的模型，相信具有某种启发性类比关系，即比较具体的偏爱或允许的类比和比喻，等等。再就是价值观或共有价值（values 或shared values），但库恩认为，共有价值在指导科学家做出理论竞争选择等方面作用有限。第四种成分，即一个学科共同体所共有的实践范例（shared exemplars），按照库恩的论证和例举，这些共有的范例就是科学实践的过程和要素，如实验室的训练、教科书的规训、仪器的使用。它们是典型问题的解决方式和经验总结。库恩还在“后记”中专门辟出一小节来讨论“作为共有范例的范式(Paradigms as Shared Exemplars)”。[5]
笔者认为，范式概念对于历史领域中的学科史不一定完全适用，如历史研究存在范式的转换问题，但这种转换未必一定发生“史学革命”。尽管如此，范式概念的对于探讨中国数学史的编史学问题仍有重要的启发意义，有助于深化我们对中国数学史学科形成和发展的认识。
借用范例和范式的概念，加以适当的变通并重新界定其适用范围，用来说明中国数学史的范式形成与转换问题，是颇具解释力的。范式是由一组实践范例组成的，一项有新意的编史工作或相关研究工作，如果被其他学术同行认可并产生示范作用，便可认为形成了一个典型范例。而这样的范例作为样板得到更多同行学者效仿不断产生新的范例，便可能形成起主导作用的研究范式，对学术共同体和学科的形成或发展产生重要影响。范式形成后会在相当长的时期发挥主导作用，新的范式形成会削弱旧范式的作用，但未必会取代旧的范式。在历史类学科中，范式的转换会形成新的范式，但旧的范式在一定条件下仍可获得拓展。范式转换与范式拓展并存是常态，是学科发展的通常模式。下面我们结合中国数学史的具体情况和实例进行分析和讨论。
二、 数学史研究在中国的发端：乾嘉学派与晚清数学家的研究范例
从文献学角度看，清代中期乾嘉学派已对传统算学典籍文献进行了许多发掘与整理工作。乾嘉学派的宗旨是“兴复古学、昌明中法”，其工作的目的是复兴和发展传统算学，严格来说属于传统算学研究。但中国数学史的专门研究，却发端于乾嘉学派学者的工作。数学史研究工作的肇始与早期发展，可以追溯到清代中后期阮元等人编写《畴人传》，以及后人的续编工作。18世纪末到19世纪末先后完成了如下一些系列论著：
1）乾嘉学派代表人物阮元在李锐和周治平帮助下完成的《畴人传》 四十六卷(1799)，收入275位嘉庆以前的中国天算家的传记，附西方科技人物传记41篇。书中引用资料主要来自《二十四史》和天文、数学著作的序、跋，以及各种文集。每篇传记之后都有评论。
2)罗士琳的《续畴人传》六卷(1840)，卷数是阮元《畴人传》的延续，该书补充了阮元等遗漏的和阮元以后的“畴人”44人的传记。
图1《畴人传》书影（中为阮元画像）
3）华世芳所撰《近代畴人著述记》(1884)，共计收33人传记。
4）诸可宝的《畴人传三编》七卷 (1886)，共收入125人的传记。
5）黄钟骏的《畴人传四编》十二卷 (1898)，仿前人成例，续补283人，另有西方数学、天文人物157人[6]。
阮元（1764 -1849）创例的《畴人传》是以人物为纲纪，内容涉及历代天文、算学家的学术活动、成果和学术思想，并且对天文、算学人物及其成果给出评价，本传的史实部分和反映编者观点的传论部分是被严格区分开来处理的。因此《畴人传》及其续编应当视为数学史的早期著作。这一点已得到许多中外科学史家和数学史家的认同。
中国科学家叶企孙在1917年发表的《中国算学史略》一文中就指出“中国算学史，自阮文达《畴人传》始有专书。前呼此者，其发达之迹，隐见于历代史志及算书序言中。乃嘱元和学生李锐集成四十六卷，始上古至清嘉庆，末四卷则西洋畴人传也。” [7]
数学史家李俨称：“吾国旧无算学史。阮元《畴人传》略具其雏形，可为史之一部而不足以概全体。”[8]
数学史家钱宝琮也指出：“《畴人传》搜集了各个时期天文学、数学的史料，表扬了专业人才的卓越成就，对于批判地接受文化遗产，推动科学研究的风气，是有积极意义的。”[9]
1923年，美国数学史家史密斯更是给予了高度评价：《畴人传》是“中国数学史的最有价值的著作。” [10]
英国科学史家李约瑟指出：“由于在过去非专业化时代数学往往只是某些个人的科学成就之一，该书可以算是中国书籍中一本最近乎科学史的著作。”[11]
《畴人传》对清末和民国初期的学术研究产生了一定的影响。在《清史稿》“列传”的分类中，除了此前二十四史原有的《儒林传》和《文苑传》之外，还仿其体例增列了《畴人传》。这是天文、算学作为专门之学在晚清学术地位获得提升的一个重要表现。《畴人传》也是民国时期学者研究数学史的最重要的参考资料。李俨曾指出“对于中国算学史的研究，则除《畴人传》一书，初无他项可供参考。”民国时期仍有学者按类似体例撰写的数学史论文。以下是其中两种：
a. 钱宝琮, “浙江畴人著述记:自宋迄清浙江天文历法算学家的重要著作”，（《国风》1936年8卷9、10合期）
b. 孙延钊,“浙江省畴人别记”（《浙江省通志馆馆刊年》1936 1卷1期、2期）
但是《畴人传》及其续编都还不完全是现代意义上的数学史研究。《畴人传》遵循的仍是乾嘉学派“兴复古学、昌明中法”的宗旨。这同样也是其续编者的主要关怀。乾嘉学派的学术思想和数学观在《畴人传》和《续畴人传》中得到了充分体现和发扬光大。因此，《畴人传》及其续编属于中国传统学术思想主导下的数学史研究工作。
通过编史学视角的考察可以发现，从阮元《畴人传》开始，数学的古今关系和中西数学的关系，成为中国数学史研究无法回避的核心性问题。阮元的数学编史工作是以如下两个基本观点为基础的：
1）、“后世造术密于前代者，盖集合古人之长而为之，非后人之知能出古人上也。”
2）、“西法实窃取于中国，前人论之已详。……近来工算之士，每据今人之密而追咎古人，见西术之精而薄视中法，不亦异乎？”[12]
对古法的崇尚和“西学中源”说是阮元《畴人传》的立论基础，体现了中算史学者的观念和共有价值。从现在的观点看，“西学中源”显然有失客观性，不符合历史事实。但这一认识也有积极的一面，为接受西方数学和进行中西数学汇通工作创造了条件。对于数学的古今关系的认识，需要根据具体问题具体分析，涉及知识的继承与创新的关系问题。阮元对数学古今关系的认识有其合理性，更有值得肯定之处。
阮元从事研究的目的也是要弘扬和复兴中国传统算学。罗士琳则完全继承了阮元的数学史观，罗氏在《续畴人传》提出的看法和主张是阮元观念的自然延伸：
“彼欧罗巴自诩其法之精且密，妄谓胜于中法，究其所恃者不过三角、八线、六宗、三要与夫借根方、连比例诸法而已。其实所恃之诸法，又安能轶乎吾中土之天元、四元、缀术、大衍与夫正负开方、垛积招差诸法之上哉？吾愿世有实事求是之儒，甄明象数，诚能循是以求，进臻至理，将见斯文末坠，古法大兴，是又吾之原望焉，亦续补畴人传之素志也夫。”[13]
由于通过清代学者的努力，明代数学家无法理解的宋元数学方法被重新揭示出来。而明清之际传入的西洋数学基本上属于初等数学的范畴，与中算之天元、四元、大衍、正负开方、垛积、招差诸法相比，当时传入的西法并未显示出优越性，甚至不少方面不及中算古法。因此，罗士琳对中西数学有上述认识和评价是不足为奇的。丁福保在其《算学书目提要》(1899年刊行) 中对此有过精准的概括和评论：“统观阮、罗二氏之言，皆偏袒古术，抨击西法。盖当时天元、四元之术，推阐靡遗。西人借根，相形见绌，主中奴西，良有以也。”。[14]
罗士琳之后，解析几何、微积分等近代数学传入中国，诸可宝编写《畴人传三编》时，面对西方代数、微积分的优势，自然无法再谈“复兴古算”的宏愿。出于传统算学难保的危机感和以防“中法失坠”的目的，诸可宝试图从中西数学可以会通的立场论述中算的合理性和中西数学的互补性。[15]诸可宝在曾伟烈亚力的传论中引用伟烈亚力《数学启蒙》序中的话作为其观点的例证：
“《启蒙》第二卷列开诸乘方又捷法，盖即我秦道古（即秦九韶）书实方廉、隅、商步益翻之旧。其自记曰：‘无论若干乘方，且无论带纵不带纵，俱以一法通之，故曰捷法。此法在中土为古法①，在西土为新法②。上下数千年，东西数万里，所造之法，若合符节，信乎此心同此理同也。’所言如是，是非中西一揆之明徵乎。”[16]
《畴人传》及其续编工作，开创和形成的“评传”研究方式，成为当时学者的“共有的范例”，起到了示范作用，可视为一种范式雏形。《畴人传》之后，续编中不断有新的人物和新的数学成果及其资料发现，研究范例不断增加。《畴人传》及其续编工作在相当长一段时期得到了清代数学家和经学学者的认可，也反映了清代中算家与史学家的数学观念及其对数学发展的认识，在一定程度上形成了学术共同体的共有价值。
《畴人传三编》的编写体例到叙述方式与前两编都相一致，编史思想观点也有着直接的继承关系。尽管诸可宝对中西数学采用折中的态度，但著名数学家华蘅芳的学生、算学教习丁福保认为该书“搜辑颇富，于近代算家，所述尤详……其文笔亦颇雅驯。惟诸氏太重中算，殊非公论。盖今之代数微积，日辟新理，天元、四元，墨守故辙，相形之下，判若天渊。如仍执阮、罗之陈言，得母？为通人所笑。”[17]丁福保的观点代表了一种新的价值取向。
晚清数学家周达对数学发展的认识，与丁福保十分接近。周达在清末曾多次访问日本，与日本数学家有广泛的交往，并对日本数学的发展进行过专门调查。他所著《日本调查算学记》（1903年）多次论及日本传统数学和算，并与中算和西方数学进行了比较。其中对和算有很高的评价：“日本有古算焉，其程度亦颇高。其所谓点窜术，天生法者，与我邦之天元、四元绝相似。惟我邦之天元术，专以位次分。彼术则兼用记号，几近于代数矣。”但他的评价是站在近代数学的立场上做出的。周达还对日本古今数学的发展也进行了对比和分析：“日本古算，程度颇高，畴人亦盛。宽永宝永之间，诸流竞起，各立门户，而以关流为最著。关流者，关派也，为彼国古算大家关孝和氏所创。关氏湛深觉学，超伦轶羣，彼邦人士崇拜之。至有算圣之目，视我邦之崇拜梅、李，尤加甚焉。当宽宝时代，西译未入东土。故所谓关流者，皆研究点窜圆理诸术，其深造处亦自可惊。迨至安政庆应之间，西法东渐，始有洋算之名，与和算并行。维新以来，西算之风大启。士皆舍弃旧学，从事译籍。所谓关流和算，相形之下，顿见萧索。彼中泰斗，如冈本则录，如长泽龟之助，皆由和算而通汉算，由汉算而通西算。”[18]周达对明治维新后日本数学的近代化历程已有深刻的认识，他对于日本数学历史与发展趋势的描述，同样也反映了新的数学史观与价值取向。
丁福保和周达等学者的观点表明，到了19世纪末20世纪初，随着中算的进一步衰落，乾嘉学派及其继承者的研究范式已难以适应学术发展的需要，其编史方法虽然仍在应用，但显然已无法发挥主导作用，范式的转移成为不可避免的趋势。《畴人传》作者及其续编者的工作虽然存在着明显缺点和不足，但他们梳理中国传统算学及其历史的成果与考证方法，对数学史研究工作的开展起到了推动作用，成为科学史学科的重要的学术遗产，为中国数学史学科的建立打下了基础。20世纪初期中国数学史的系统研究也正是以此为基础展开的。
三、数学史研究在中国的兴起：“实证”研究范式主导下的学科构建
现代意义上的中国数学史研究，兴起于20世纪前期。通过李俨（1892-1963）、钱宝琮（1892-1974）和严敦杰（1917-1988）等一批杰出学者的努力开拓，使中国数学史在中国成为一个专门的研究领域。
李俨、钱宝琮与日本数学史家三上义夫(1875—1950年)同为中国数学史研究领域的开创者。李、钱之前的中国数学史，虽有《畴人传》及其续编，但远未成为一门系统性的学问。不仅对中国数学发展、演变的过程与特征及其与社会背景的关系等综合性问题没有展开讨论，就是典籍文献资源的搜集和史实的考证方面工作的也远远不能满足发展一个学科史的要求。叶企孙先生早在1917年就指出了《畴人传》及其续编的局限性：“续阮氏书者有罗士琳、诸可宝、华世芳三家，罗、诸二家于体例无变，华氏则略变之。然皆以个人为主，而一时代之精神不可见。况天文、算学家，二者相杂。源流进退，反失其真。”[19]李俨先生也有类同的认识。他在1928年写的一篇数学史工作总结性的文章中指出：
“学者虽熟读此六十万的大著，而于中算源流还是无所多得。且晚近数十年算家续著的书和新发现史料，亦将如诸、黄之定例，勉强赝编呢？或是翻昔日的成案，而重编一本算史呢？近十年来，有志于后说的，有李俨、钱宝琮、裘冲曼、严敦杰诸人。”[20]
有鉴于此，李、钱诸人没有再走《畴人传》的老路，而是采用新的思路和研究方法重新编写中国数学史。他们一方面开展了中算文献典籍资源的调查、发掘工作，另一方面以西方近、现代数学为参照系对中国传统数学进行整理、研究。他们的工作首先是要弄清古代数学成果的数学内涵和意义，并“翻译”为现代数学语言；之后再按数学发展的历史顺序加以排列，不以人为纲，编写中国数学史著作。
李、钱等中国学者致力中国数学史的研究，与国外学者的数学史研究工作也有直接的联系。李俨在1917年发表的《中国算学史余录》中谈到他最初从事中国数学史研究的起因：一是有感于中国传统数学“渐就沦亡”，另外读了欧洲人关于中国算学的论著，“深叹国学堕亡，反为外人所拾”。他又提到，因“看过一篇日本人说述中国算学的论文”而受到了激励[21]。在他的亲笔自传中也有类似记述：“我看过一篇日本人说述中国算学的论文，我十分感动和惭愧，以为现在中国人如此不肖，本国科学（特别是算学）的成就，自己都不知道，还让他们去说，因立志同时要修治中算史。” [22]钱宝琮曾留学欧洲，1911年毕业于英国伯明翰大学。他在伯明翰读书期间就读过英国剑桥大学教授鲍尔（W. W. Rouse Ball）的《数学简史》（A Short Account of theHistory of Mathematics）一书，并因此“对数学的发展史颇感兴趣”，同时也“有遗憾”，因为“这本书没有讲到中国人在数学方面有任何贡献”③。鲍尔书中也涉及到了中国数学，但他对中国传统数学缺乏了解，认为中国人在数学上没有多少值得称道的成就。他指出；“就我所知，古代中国人所熟悉的唯一几何定理是在某些特例（三边之比为3:4:5或1:1:√2）中直角三角形斜边上的正方形面积等于两条直角边上的正方形面积之和。一些可以通过半试验叠置方法证明的几何定理几乎不可能也为他们所知。在算术方面，他们似乎只有利用算盘进行计算的技术以及在书写上表达结果的能力。” [23]显然，国外学者已开展的数学史工作，对李、钱开展中国数学史的研究有直接的刺激或激励作用。
实际上，此前法国数学史家蒙蒂克拉(Ｊ.Ｅ.Ｍontucla,1725～1799)所写的《数学史》，已有中国数学史的章节，但他主要从18世纪来华耶稣会士的著作中了解到少部分中国天文与计算方面的知识，因此只介绍了简单测量方法、勾股定理和三角计算等内容。蒙氏认为“唯有从天文学上，中国人能获得一些荣誉”。[24]早期对中国数学有了深入了解的西方学者是英国传教士、汉学家伟烈亚力(Ａ.Ｗylie,1815～1887) 。他于1852年在上海英文周报《北华捷报》上发表了著名论文《中国科学札记：数学》,首次比较全面介绍了包括《算经十书》在内的中国数学文献以及位值制、勾股术、大衍术、天元术、四元术、高次方程数值解等中国数学的重要成就和世界意义,反驳西方出版物中关于中国数学的错误说法。但与伟烈亚力对不带偏见的评介不同，当时多数西方学者，受当时科学史上的“西方中心论”错误观点的影响，以及语言上的限制，对中国数学的评价很不客观。其中最具代表性的是比利时的来华传教士学者赫师慎（Pere Louis Van Hée,1873－1951），赫氏通晓中文，从1911年就开始也有中算史论文发表，对西方学界有较大的影响。赫师慎对中国古代影响重要成果的原创性和独创性都予以否认，如《隋书·律历志》记载了祖冲之的圆周率355/113，《畴人传》中引用了这一记载，但他声称：“梅修斯（指荷兰数学家A. Anthoniszoon, 1543～1620）于1585年求得这个值；另外，通过耶稣会士，梅修斯也为中国人所知。难道就没有可能，一些抄写者受爱国之心驱使，在这些早期著作的后来版本中插入这样的说法？”[25]由于赫氏和许多西方学者对中国古代数学成就持有偏见，缺乏深入的分析和系统的考察，对中国数学史的研究贡献不大。最早对中国数学史研究做出系统性研究和开拓性贡献的外国学者，是三上义夫等日本数学史家。他们对李、钱等中国学者有更大的影响。
三上义夫先生也早在1905年前后即有关于中国数学的论文发表，后来陆续有大量的有关中国数学史的论著发表，如早期在《数学世界》等杂志上发表了一系列研究中国数学史的专题文章。他还以英文撰写了第一部在西方出版的东亚数学之专著---《中日数学的发展》（The Development of Mathematics in China and Japan,Leipzig:Teubner,1913），该书被西方学者广泛引用。李、钱等中国学者对三上义夫等日本学者的相关研究是相当了解的。李俨所称的“日本人说述中国算学的论文”，就是三上义夫的论文。李俨与三上义夫本人很早就建立了联系，他给三上义夫的第一封信写于1914年8月17日，信中写道：“前于《数学世界》上仰读大著，敬悉足下究心中算，深佩莫明。”[26]李、钱与三上义夫和小仓金之助(1885—1962年)等日本数学史家也有密切的学术交往。早在1917年，三上义夫曾以足本《杨辉算法》寄赠李俨。足本《杨辉算法》中国当时只有残本。三上义夫所著数学史论文自1920年起即陆续寄送李、钱二人。小仓金之助大约从1930年开始与他们建立了学术联系。④李俨一直非常重视中日数学交流史和日本数学史，晚年还将主要精力转向对和算史的研究，应当说与日本学者的影响不无关系。
李俨与美国数学史家史密斯(D. E. Smith，1860～1944)也很早就建立了联系。在美国哥伦比亚大学珍本与手稿本图书馆的“史密斯文库”中，仍然保存有1915至1917 李俨与史密斯的学术通信10余封。在自然科学史研究所李俨图书馆也藏有李俨致史密斯的信函草稿5通和史密斯致李俨的信札3通。在这些通信的中心内容，是协商合作编写一部“中国数学史”并用英文发表的计划。史密斯曾有与撰写《中国数学史》。李俨开始计划写一部分为上古、中古和近古的三卷本数学史，史密斯则考虑到只有一卷的篇幅才能找到出版商，便把合作提纲调整压缩为一卷。李俨大约于1916年写出了汉文稿的大部分。1917年2月28日李俨致史密斯的信说：“关于《中国数学史》的英文翻译，我和我的朋友正在做，前三部分（引论，古代，中世纪）的中文部分已完成，并已把它寄到茅以升（Thomson Mao）处，他是康乃尔大学的博士后研究生，译稿将直接寄给你。”[27]李俨在《中国算学史余录》中也谈到此事：史密斯“复与吾共编英文《中国算学史》，以新欧美人士之目，拟即简约汉文原本，移译成文。更复益以博士历年搜求之材料。主译事者为茅君唐臣、斐君季豪、曹君觉民。最近目录初经脱稿，而全书出世尚需时日。”茅以升后来托一位朋友把译稿带给了史斯密。李俨与史密斯的合作后来没有进行下去，他的这本数学史也没有发表，但后来经过删节修改，以《中国数学源流考略》之名，于1919、1920年在《北京大学月报》分三期连载发表。从史密斯最后给李俨的信可知，他认为数学史英文译稿与他的设想和期望有较大差距。主要问题是其中缺少中国数学典籍中“精彩论述的准确翻译”，而史密斯希望“读者能够直接接触原始文献”；此外译稿对人物信息交代不够，且事迹的叙述不精确，人名的音译也存在问题。[28]李俨与史密斯的合作的失败，可能对其后来对李俨的研究工作有较大影响，使他更加注重原始文献的搜集、整理和文献依据可靠性的考证。
李俨、钱宝琮开始从事中国数学史研究时，正是“欧洲中心论”在西方盛行时期，他们的工作要面对西方学者对中国传统数学的怀疑和偏见。所以，以李、钱为代表的中国学者从20世纪10年代开始开展的中国数学史研究，是以文献典籍资源的深入调查与整理研究为中心展开的。他们尽可能搜集、抢救中算古籍，有计划地开展若干重要专题研究进行与重大问题的历史考证，完成了一系列经典的研究范例工作，形成了注重实证研究的范式，同时在中国数学教育史、中国数学思想史、中外数学交流史等方向都有出色的研究成果，通过一系列开拓性的工作构建了中国数学史的学科知识体系。
20世纪10年代末至30年代后期，是李俨、钱宝琮进行中国数学史研究的高峰时期。统计收入《李俨钱宝琮科学史全集》的数学史论文，可以发现，到1937年，李俨发表47篇，多数是高质量的专题论文或新史料的披露。李俨发表的论文，经过多次修订，由他自编为《中算史论丛》(一)～(四)集，由商务印书馆出版（1928～1937年）。李俨所著的综合性成果包括通俗著作《中国算学小史》（商务印书馆，1930）和通史性专著《中国数学大纲》上册（商务印书馆于1931年）、《中国算学史》(商务印书馆，1937年)。它们都是按时代先后顺序编写的中国数学史著作。其中《中国算学史》一书，流传颇广，影响较大。此书很快被译成日文出版(东京生活社，1940年)，译者为岛本一男、薮内清。
李俨在1937年发表的“怎样研究中国算学史？”一文，还对中国数学的编史观念和方法做了专门阐述：
“中国算学在世界有千余年之历史，中国国民对于中国算学之历史自要深切详知。此种研究结果，足以证明中华民族对于算数，实具有素养，自可进而研究近代科学，不复自外，更进而期望以中华民族文化贡献于全世界。十九世纪以来，国外算学史，作者如林，学校亦研习算学史，盖欲学者深开先启后之源，日求所以精进之道。吾国维新以前，学者困于科举，维新以后，旁徨歧路，无所适从。今则欲求自强，应研治科学，已为国中论定问题，而自然科学及应用科学，实均以算学为首要，我国国民宜深知研究中算，实为刻不容缓之事。日本维新之时，众弃一切旧学，但进至现在，则中小学教员及多数学者仍有深治‘和算’之愿， 该国‘历算书复刻刊行会’及‘古典数学书院’已翻印日文旧算书多种，以供应用。即在中国现时亦已经有数十种中算书，及数部中算史书，可备观览，而中算史中尚待研究之问题，尚不在少数，则略述研究中算及中算史之方法，亦当为学者所乐闻也。”[29]
他是从国际视野理解和认识中国数学史研究的意义和价值的。对于数学史的研究方法，李俨概括为四个步骤：
“第一，勤治西算。现在研治西算比较数十年前容易，高中、初中学生，如于算学功课勤于治理便是一种良好的基础，即未在校者，从事此道亦非难事，所谓天下无难事，只怕心不专。有了此项志愿，欲于算学有所贡献，必要再读算学史，以便知道古今算学进化之历程，其中何种已经发现，何种尚待研讨。
第二，阅读书籍。阅读为精进之源，所治一事，必博读群书，则理势宜然。但世界典籍汗牛充栋，必也分别轻重，布置先后，认定某种应精读，某种应细读，某种应检阅，某种应在某种范围内批阅，则其事自易既经读过，再别记录保存，用备研讨。今以中算史为例，其已出版之中算史及译本算学史，自宜细读，其次则于读书之时，并留心中算史事有闻必录，遇事迭记，终年累月，自多进益。
第三，选定题目。阅读既富，修养充足，欲进而有所研讨，则宜选定与自己学力相近之题目。题目既经选定，则将以前读书答记所得，及访问所及，加以分类，其视为不足者再加以补充，并察看此类题目，前人已否论过其所论之程度如何，作为自己作文之参考，如题目简单，则加以并合，便成有系统之论述。
第四，整理旧文。题目既经选定，或未经选定，研读之余，应以科学方法随时整理，分门别类，或用册，或用卡片，不厌求详，不求急就，一年不足，期以十年，十年不足，期以终身，为学方法，尽于是矣。”[30]
李俨是站在世界科学文明史的高度考察中国数学发展的，且把数学史视为“古今算学进化之历程”，即由原始的萌芽状态逐步形成古代数学，再进一步发展演变成近现代数学。他的编史学思想与《畴人传》及其续编反映的观念，有着根本性的不同。
钱宝琮先生从事中国数学史研究始于1919年“五四运动”时期。他在自传材料手稿中写道：“1919年我在苏州当中学教员，‘五四运动’以后受了胡适等提倡的‘整理国故’的影响，开始研究中国古代数学的书籍，阅读稍有心得后就写了几篇论文，在《学艺》《科学》等杂志上发表。到抗日战争时期，我已发表过十多篇数学史论文，四五篇天文学史论文。那时我认为中国科学史是中国文化史的一部分，也是世界文化史的一部分。…研究古代数学书或天文书，必须经过仔细的校勘和繁琐的考证。……”他在1928年夏所写《古算考源》序中称：“宝琮年二十，略知西算。任教江苏工业学校时，偶由书肆购得中国算学书数种。阅之，颇有兴趣，遂以整理中国算学史为己任，顾头绪纷繁，会通匪易。乃先就分科探讨，稍有心得，辄复著书。民国十年春成《九章问题分类考》《方程算法源流考》《百鸡术源流考》《求一术源流考》《记数法源流考》五篇。十一年复成《朱世杰垛积术广义》一篇，俱送登《学艺》杂志。”[31]
他在1921年一年就发表五篇高水平的数学史论文：“九章问题分类考”（《学艺》1921年5月），“方程算法源流考”（《学艺》1921年6月）”，“百鸡术源流考”（《学艺》1921年7月）“求一术源流考”（《学艺》1921年8月），“记数法源流考”（《学艺》1921年10月），第二年又完成“朱世杰垛积术广义”（《学艺》1923年1月）。他对《九章》分类问题的研究、对各种算法源流的考证都是经典的范例，至今仍有十分重要的参考价值。而对朱世杰垛积术的阐释研究，获得多个组合恒等式，并将一个卷积型组合恒等式表述为现代形式，这一成果经科学史家乔治·萨顿和李约瑟的介绍，被西方现代数学家接受，成为现代组合计数理论的一个基本公式“朱世杰-范德瓦尔登公式（the Chu-Vandemonde formula）”的命名依据。[32]六篇论文发表后，产生了很大的影响，中华学艺社将将其集为《古算考源》一书，交由商务印书馆于1930 年出版发行。《古算考源》很快售罄，商务馆又重新排版，于1933 年和1935 年两度再版。
他在二、三十年代发表的代表作品还有:
1.中国算书中之周率研究，《科学》第8卷第2期和第3期(1923年2月、3月)。
2.中西音律比较说，《学艺》第6卷6期（1924年12月）。
3.印度算学与中国算学之关系，《南开周刊》第1卷第16号（1925年12月）。
4.《九章算术》盈不足术流传欧洲考，《科学》第12卷第6期(1927年6月)。
5.周髀算经考，《科学》第14卷第1期(1929年9月)。
6.孙子算经考，《科学》第14卷第2期(1929年10月)。
7.夏侯阳算经考，《科学》第14卷第3期(1929年11月)。
8.中国古代大数纪法考，《文理》1930 年第1期。
9.梅勿庵先生年谱，《国立浙江大学季刊》第1卷第1期（1932年1月）
10.太一考，《燕京学报》1932 年第。12期
11.汉均输考，《文理》1933 年第4期。
11.戴震算学天文著作考，《浙江大学科学报告》第1卷第1期（1934年1月）。
12.新唐书历志校勘记，《浙江省立图书馆馆刊》1935 年第4卷第6期。
13.唐代历家奇零分数纪法之演进，《数学杂志》1936 年第1卷 第1期。
14.汪莱《衡斋算学》评述，《国立浙江大学科学报告》1936年第2卷第1期。
15.百纳本书历志校勘记，《文澜学报》1937年第2卷第1期.
16.浙江畴人著述记，《文澜学报》1937年第3卷第1期（1936年曾在《国风》上发表）。
17.中国数学中之整数勾股形研究，《数学杂志》1937年第1卷第3期。
18.曾纪鸿《圆率考真图解》评述，《数学杂志》1939年第2卷第1期。
在开展专题研究取得初步成果后，钱宝琮也开始关注综合性问题，并着手编撰中国数学史的通史著作。这一工作又与他在大学开设中国数学史课程和编写讲义是结合在一起的，起到了相辅相成的作用。他在1927年4月29日给李俨的信中，对综合研究与通史的重要性做了透彻的论述，对他已开展的工作也有较详细的介绍：
“乐知先生：八年前于《北大月刊》，得读大著，欣慰无已！琮之有志研究中国算学，实是足下启之。数年以来，考证古算，得有寸进，皆足下赐之。……琮十年以来，从事搜集中国算学史料，为写中国算学发展史之预备。最初以为中国算学，头绪纷挐，宜由分科研究入手。故有《方程术》、《百鸡术》、《求一术》、《计数法》、《周率研究》等篇，录登《学艺》杂志及《科学》杂志，以提倡中国算学史料之考证。继以算学全史不甚明了，则所述各科源流，支离割裂，不能免误。琮以前在《学艺》发表诸文，今日再为覆视，觉遗漏及武断处甚多。皆宜再事修正。故近年有所撰述，皆未发表。最近以科学社及南开大学理科之要求，勉将《九章算术盈不足术传入欧洲考》及《明以前中国算书中之代数术》二篇分别送出，不久当可公诸同好也。尝读东、西洋学者所述中国算学史料，遗漏太多，于世界算学之源流，往往数典忘祖。吾侪若不急起撰述，何以纠正其误！以是琮于甲子年在苏州时，即从事于编纂中国算学全史。在卢永祥、齐燮元内战期内撰成《中国算学史》十余章。乙丑秋来此间教读。理科学生有愿选读中国算学史者，琮即将旧稿略为整理，络续付油印本为讲义。每星期授一小时，本拟一年授毕全史。后以授课时间太少，不克授毕。故讲义只撰至明末，凡十八章，印就者只十六章，余两章虽已写成，而未及付印。第十七章述《宋元明算学与西域算学之关系》，其细目为两宋时印度算学之采用、波斯、亚拉伯算学略史、元明时代西域人历算学、金元算学未受亚拉伯算学之影响等。第十八章为《元明算学》。其细目为赵友钦与瞻思、珠算之发展、数码之沿革、明代历算学、写算术等。至于自明末以后之算学史，则拟分写：第十九章《明清之际西算之传入》，第二十章《中算之复兴》，第二十一章《杜德美割圆九术》，第二十二章《项名达与戴煦》，第二十三章《李善兰》，第二十四章《白芙堂丛书》，第二十五章《光绪朝算学》。现正搜集史料，暇当从事编辑也。”⑤
图2 钱宝琮1927年4月29日致李俨先生的亲笔信
从这封信可知，早在1924年钱宝琮就开始“从事于编纂中国算学全史”的工作，而且在当年9、10月时已撰成“《中国算学史》十余章”。1925年至1926年，他又在南开大学编成《中国算学史》讲义，作为中国数学史课程的教材，陆续付印（油印本）。
这部南开的授课讲义后来受到地质学家丁文江的关注。1929年，钱宝琮的讲义被“老友丁文江借去作参考”，丁氏研读之后，大为赞赏。不久，丁文江将讲义交给了中央研究院历史语言研究所所长傅斯年，建议由该所正式出版，很快得到傅斯年的认可。1932年，《中国算学史》上卷作为中央研究院历史语言研究所学术著作单刊甲种之六正式出版，商务印书馆发行。该书一出版，即引起学术界的关注，受到好评。1933 年6 月出版的《燕京学报》第13期，发表了魏建猷撰写的书评，在对《中国算学史》（上卷）内容和特色做了全面介绍和概括。魏建猷最后指出：“综观上述，本书在种种方面均有其独得之处，实为精心结构之作，非一般流行作品可比也。” [33]该书在上世纪三、四十年代，也成为在中外有影响广泛的中国数学史专著。
上世纪三十年代中期，李、钱二人的工作获得了数学界、史学界和教育界的高度认可。纵观李、钱的研究工作及其影响，可以看到，到全面抗战开始时的1937年，中国数学史家已完成许多专题与案例研究工作，不仅形成了众多有示范作用的研究范例，而且基本上搞清楚了中国数学发展的整体面貌，构筑了中国数学史学科的基本框架与知识体系，形成了成熟的研究方法和新的研究范式。就知识体系的建构来说，中国数学史已经成为一个稳定发展的学科。同时，也不断有新的学者开始从事相关研究工作。其中关于中算中的圆周率的研究，成为相当长一段时期研究的焦点，有许多学者进行了相关研究，李俨、茅以升和钱宝琮都有重要的成果，不少研究成为经典的范例。如1936年，严敦杰加入了数学史研究者的行列，他的第一项具有范例性的出色工作就是关于祖冲之的圆周率研究。[34]三上义夫对这一时期中国学者的数学史研究也给予高度评价，他在1934年发表的《中国思想·科学（数学）》一文（见岩波書店出版的東洋思潮系列『東洋思想の展開』第3卷）中指出，李俨、钱宝琮、张荫麟、茅以升等人才辈出，他们的研究工作旁征博引，不断开拓进取，使中国数学史的研究渐入佳境。[35]
1937年开始，全面抗战的爆发，使数学史的研究条件变得十分艰难，中国数学史的研究进入低潮时期。抗日战争胜利后，又进入解放战争时期，研究条件依然艰苦。而李俨、钱宝琮、严敦杰等学者没有中断数学史的研究，一直为发展中国数学史学科而努力工作。但在1938年至1949年十余年时间，李、钱二人发表的论文比前十年明显减少。而在这一时期，严敦杰先生发表了20余篇数学史文章[36]，成为当时中国数学史研究的后起之秀。
新中国成立后，中国已具备了从事职业数学史和科学史研究的条件，李、钱二人分别于1955年和1956年调入中国科学院历史研究所专门从事数学史的研究。1957年中国科学院中国自然科学史研究室 (中国科学院中国自然科学史研究所前身)成立，李、钱和严敦杰成为该室专职研究人员，钱宝琮任新创刊学术杂志《科学史集刊》主编，李俨出任研究室主任，直至逝世。他们为数学史、科学史在中国的建制化做出了贡献。同时一批年轻学子在五、六十年代也陆续加入了中国数学史研究者的行列，除了自然科学史研究所有杜石然、何绍更、梅荣照、郭书春加盟外，李迪、沈康身、白尚恕等一批大学教师也进入到数学史研究队伍。李、钱的带领或影响下，他们先后在专题、断代史方面完成了许多出色的研究工作，推进了中国数学史学科的发展，为中国的数学史研究事业的繁荣贡献了力量。
到了50年代，李俨又对《论丛》进行了增删和调整，重新编成《中算史论丛》1～5集，由科学出版社出版(1954—1955)。《中算史论丛》比较集中地反映了李俨在中国数学史研究工作中的各方面成果。《中国数学大纲》上册，是商务印书馆于1931年出版的；1958年，李俨又出版上册的修订本和下册(科学出版社)。专题性著作有《中算家的内插法研究》（科学出版社，1957年）和《十三、四世纪中国民间数学》等。
钱宝琮也开始组织研究室数学史专家重新编撰通史著作《中国数学史》（钱宝琮主编），该书由钱宝琮与杜石然、梅荣照、严敦杰共同完成编写工作，1964年由科学出版社出版。这部通史著作一直写到1911年，可以说是几十年来中国数学史研究的总结性工作。钱宝琮校点的《算经十书》（1963，中华书局），首先破除了对乾嘉学派代表人物戴震的迷信，改正了戴震的许多校勘错误。他对十种算经的内容及其年代的考证，绝大多数都经得起时间的考验。可以说是他数十年来校勘工作的重大成果之一。1966年出版的《宋元数学史论文集》（钱宝琮主编，科学出版社），是中国数学史断代研究方面的突破性成果。此外，钱宝琮对数学思想史的研究也取得了重要成果。李、钱二人用了半个多世纪的时间，为中国数学史这一学科奠定了坚实的基础，他们主导的编史实践确立中国数学史的范式，使其成为一门成熟的学科。他们的编史观念虽然与《畴人传》作者及其续编者有根本的不同，但并不是对前人工作的全盘否定，而且还有很多继承。如李俨在1947 年写给严敦杰信的中称“《珠算の知識》及《算盘来历考》二文, 未知尚有何新史料, 便乞示知。日史家治史 不如乾嘉诸老之严密。如采用该文, 尚须多加审核。”[37]他认为当时日本学者治史严谨性存在不足，而乾嘉学派的治学方法更为严密。对于乾嘉学派的考据方法和实证研究范例，他们不仅多有继承，还有进一步的拓展。重视文献典籍和史料证据是李、钱二人的共同特点，文献学方法是二人的基本方法，这在相当程度上也是对乾嘉学派治学方法的继承，当然他们又有许多新的拓展和超越。李、钱二人在编史观上，都十分注重实证。但在编史实践中，二人处理问题的方式略有差异。如果说李俨先生擅长于目录学与版本学，那末钱宝琮先生则擅长于校勘学与版本学，李俨先生偏重数学史资料的整理、史料考订，钱宝琮先生则偏重数学史实和算法源流的考证与内容分析。此外，强调采用近现代数学方法整理、验证和分析传统数学成果也是二人治学的共同特点。李俨的编史观是以史料为中心的，其特点是：以史料的发掘和整理为出发点，以信史为追求目标，尽量直接利用可信的史料构筑和阐述历史，信以传信、疑以传疑，避免在史料之外作过多的推衍。[38]李俨先生对史料文献工作重视，还表现在他本人在史学史研究、史料整理和编目工作方面的用功极勤，除了算学源流的清理和事实的考证工作外，他编有多种算学书目、研究论文目录、年表、年谱、人物生卒年表。为中国 数学史研究者带来了极大的便利。[39]钱宝琮先生则多采用史料与算理分析结合的方式，常提出有启发性的看法，或推导出较为合理的结论。此外，钱宝琮重视数学思想史的研究，努力探讨影响中国数学发展的内在和外在因素，特别是社会思潮和哲学思想对数学发展的影响，开拓了新的方向，为进一步开展相关研究打下了基础。
四、数学史研究的拓展与深化：对传统数学再认识的“复原”范式
正当中国数学史的研究被引向深入之时，在中国爆发了史无前例的“文化大革命”，导致了科学文化大灾难。由于“文革”期间的动乱和李、钱两位先生相继去世，20世纪60年代中期至70年代中期中国数学史的研究也处于停顿状态。70年代后期，中国数学史的研究得以恢复和发展。
20世纪70年代是中国数学史研究的的一个低谷，当数学史家们以极大热情重新投身于研究工作时，则发现中国数学史的一些富矿资源似乎都被开发过了。按传统的看法，一些重要的史料与问题，李俨、钱宝琮、严敦杰等前辈大都已解决了。最主要的数学成果已用现代数学知识做出了说明、验证和解释，并被“翻译”成了现代数学语言。大量的文献典籍和相关资料已被发掘和整理，而他们留下的某些有前景课题，如数学思想史等课题又难度较大，短期内无法入手。因此，研究者发现在选择研究课题时，面临一些困难。因此，为了尽快走出低谷，需要发现新的学术增长点，也需要转变固有的认识方式和改进传统的研究方法，开拓新的研究方向和领域。
在 “文革动乱”已近尾声的1975年，吴文俊先生发表了他的第一篇数学史论文《中国古代数学对世界文化的伟大贡献》[40], 通过对中西方数学发展的考察与比较分析, 提出了对中国传统数学的独到见解，阐述了中国古代数学的成就及其世界意义, 在当时就引起了学界的关注。此后, 吴先生又发表了多篇重要的数学史论文, 提出了新的数学史方法论原则和数学史观，开展了重新认识传统数学的系列研究。他工作影响了整个中国数学史界, 在80年代开辟了中国数学史研究的一个新阶段。
吴文俊在对中国数学史研究的现状进行了调研、分析后发现, 已往的中国数学史研究中存在着一个普遍而又严重的方法论缺陷, 就是不加限制地搬用现代西方数学符号与语言来理解中国或其他文明的古代数学。他认为, 这种错误的研究方法乃是对中国古代数学的许多误解与谬说的根源之一。[41]吴文俊指出:“我国传统数学有它自己的体系与形式,有着它自己的发展途径与独创的思想体系,不能以西方数学的模式生搬硬套。”为此，他提出了古证、古算复原应该遵循的三项原则[42]:
原则之一，证明应符合当时与本地区数学发展的实际情况，而不能套用现代的或其他地区的数学成果与方法。
原则之二，证明应有史实史料上的依据，不能凭空臆造。
原则之三，证明应自然地导致所求证的结果或公式，而不应为了达到已知结果以致出现不合情理的人为雕琢痕迹。
吴文俊将上述原则视为研究古代数学史的方法论原则,，曾在不同场合多次阐述, 并在1986年在美国召开的国际数学家大会的报告中将其提炼为两项原则[43]:
原则一:所有研究结论应该在幸存至今的原著基础上得出。
原则二:所有结论应该利用古人当时的知识、辅助工具和惯用的推理方法得出。
吴文俊对刘徽海岛公式证明的复原就是遵循这些原则完成的，相关成果成为中国数学史研究的典范性工作，对中国数学史的研究对了示范作用。中国古代数学公式与定理的推导很少采用逻辑演绎形式，数学文献只记录算法程序与结果，对算法推导过程也很少保留。他发现利用表达面积关系的“出入相补原理”实现等量关系的推导是古代数学家普遍采用的方法，可以非常地自然地导出海岛公式。他还将这一古证复原成功范例加以总结概括，使其上升到数学史方法论的高度，成为研究数学史的方法论原则。之后越来越多的数学史学者实践这“古证复原原则”，并用以解决不同的数学史问题，形成了一系列新的研究范例，得到了中国数学史界普遍认同，从而形成了一种新的数学史研究范式。
20世纪80年代中期，吴文俊对中国古代数学特点有了更为深刻的理解,。他在的一系列文章之中,多次地强调:“就内容实质而论,所谓东方数学的中国数学,具有两大特色,一是它的构造性,二是它的机械化。”[44]他提出的“古证复原原则”和对中国古代数学构造性与机械化这两大特点的概括, 极大地深化了人们对中国传统数学认识。受其影响, 80年代中国数学史界形成了对中国古代数学再认识的高潮。而这一时期，自然科学史研究所和大学的许多数学史学者也将研究重点转移到对《九章算术》及其刘徽注的研究，而吴文俊及时参与到了这一工作之中，与相关学者互动，引导和推动了研究工作的开展，在中国掀起了《九章算术》与刘徽注研究热潮，参加人数之多，历时之长，为中国科学史学史上所仅见。人们解决了若干过去未解决或未正确解决的重大问题，如《九章算术》编纂，《九章算术》及其刘徽注的版本与校勘，出入相补原理，刘徽《九章算术》的结构，刘徽的割圆术和极限思想，刘徽原理与体积理论，《九章算术》与刘徽关于率的理论，刘徽的逻辑方法、数学思想和数学体系，以及刘徽的籍贯、思想渊源，《九章算术》及刘徽注与时代背景，《九章算术》及其刘徽注的影响，等等，出版了10余部专著，数百篇论文。其中出入相补原理、刘徽原理是吴文俊在研究刘徽著作的基础上首次概括出来的。之前对于祖冲之研究是中算史的热点，忽视了刘徽在古代数学发展中重要重要和贡献。80年代以来，对刘徽的研究非常深入和全面，也促进了对中国古代数学理论体系的再认识工作。
这期间或稍后，仅吴文俊本人主编的中国数学史著作就有:《〈九章算术〉与刘徽》(1982)、《秦九韶与〈数学九章〉》(1987)、《刘徽研究》(1991)、《中国数学史论文集》(一)、(二)、(三)、(四)(1985-1996)等。
从编史学角度看，更重要的是通过吴文俊和众多中国学者的工作，一种新的数学史观得到了确立。吴文俊对此有过精辟概括：“世界古代数分为东、西两大流派，古代西方数学是以古希腊欧几里得《几何原本》为典范的公理化演绎体系；古代东方数学则是以我国《九章算术》及其刘徽注为代表的机械化算法体系。在世界数学发展的历史长河中，这两种体系互为消长，交替成为主流推动着这门学科不断向前进展。”[45]也就是说,古代数学发展的主流并不像以往有些西方数学史所描述的只有单一的希腊演绎模式, 还有与之相平行的中国式算法体系。
长期以来, 西方学术界由于受欧洲中心论的影响，对中国古代数学抱有根深蒂固的偏见。不少西方学者或不承认中国古代存在有价值的数学成就，或认为中国古代数学知识是外来的，缺乏独创性。伟烈亚力、三上义夫有关中国数学的论著在西方的流传，对于西方认识中国传统数学的价值有一定的作用。但由于早期阶段的研究深度有限,这些著述还不足以回答部分西方学者关于中国数学独立性的疑问, 即中国传统数学是否是其它古代文明(具体说如古巴比伦、印度和希腊)的舶来品?稍晚开展中国数学史研究的李约瑟（Joseph Needham,1900-1995）, 吸收了李俨、钱宝琮等中国学者的研究成果, 用英文写成中国数学史的著作（《中国科学技术史》第3卷, 1959年）, 在西方学术界产生了更大的影响。他通过广泛深入的中西比较, 对中国数学外来说进行了批驳, 对中国与印度之间的数学交流也作出了客观的分析, 得出了在数学上“在公元前250年到公元1250年之间, 从中国传出去的东西比传入的东西要多得多”的结论。李约瑟的观点逐渐被一般公正的西方学者所接受。但对中国数学的偏见与误解至今也并没有完全消除,同时争论的焦点也转移到了所谓“主流性”问题上,一些西方学者坚持认为中国古代数学不属于所谓数学发展的主流。例如美国著名数学家兼数学史家Ｍ·克莱因（Morris Kline，1908-1992）在1972年出版的《古今数学思想》，是一部在西方颇有影响的数学史著作,但作者在前言中明确交待:“我忽略了几种文化, 例如中国的、日本的和玛雅的文化,因为他们的工作对于数学思想的主流没有影响”。[46]因此一些西方学者认为中国传统数学仍不足称道。而吴文俊的数学史研究, 恰恰在揭示中国古代数学对世界数学主流的影响方面, 做出了特殊的贡献,从而将中国数学史的研究推向了一个新阶段。[47]
1976年下半年开始, 即在吴文俊涉足中国数学史研究一年以后。如上所述,吴文俊从中国数学史上的研究中肯定了数学发展中与希腊式演绎数学相对的另一条主流——构造性、机械化数学的存在,这一认识与他对当时方兴未艾的计算机科学对数学必将带来深刻影响的敏锐预见结合起来,促使吴文俊毅然决定从拓扑学研究转向数学机械化研究,并且首先在几何定理证明方面取得了突破,于1976年至1977年之交，成功地提出了对某一类非平凡几何定理的机械化证明方法。
李文林先生指出了吴文俊的几何定理机器证明方法有三方面的历史渊源:“ (1)中国古代数学中的几何代数化倾向。正如吴文俊本人在《几何定理机器证明的基本原理》一书导言中所说:‘几何定理证明的机械化问题,从思维到方法,至少在宋元时代就有蛛丝马迹可寻。虽然这是极其原始的,但是,仅就著者本人而言,主要是受中国古代数学的启发’。(2)笛卡儿解析几何思想。吴文俊指出,笛卡儿《几何学》不仅为几何定理证明提供了不同于欧几里得模式(即从公理出发按逻辑规则演绎地进行,一题一证,没有通用的证明法则)的可能性,而且开创了可用计算机证明几何定理的局面。(3)希尔伯特《几何基础》。吴文俊在希尔伯特的著作中发现,希尔伯特首先指出了几何定理可以不是逐一证明,而是一类定理可以用统一的方法一起证明。在引入适当坐标后,这种统一的方法也可以算法化。吴文俊的这一发现是出人意料的, 因为希尔伯特《几何基础》向来被奉为现代公理化方法的经典,能够从中找到定理证明机械化的思想借鉴, 这反映了吴文俊历史考察的深度。” [48] 吴文俊在现代数学方面的研究成果也进一步证实了数学发展中存在着与希腊式演绎数学相对的另一条主流——构造性、机械化的数学，而中国传统数学是正是构造性、机械化数学的早期代表。
吴文俊倡导的研究模式与李、钱的研究模式相比，有所不同的是，前者是以西方数学为参照系去衡量、认识传统数学的具体成果，后者则强调“要真正了解中国的传统数学，首先必须撇开西方数学的先入之见，直接依据目前我们所能掌握的我国固有数学原始资料，设法分析与复原我国古时所用的思维方式与方法，才有可能认识它的真实面目。”[49]
从李、钱到吴文俊，存在范式转移的问题，主要体系在观念和认识更新上，并不是说二者具有“不可通约性”，两种范式仍具有很大的兼容性。吴文俊对李、钱严谨的考证方法是十分推崇的，同时他也继承和吸收了李、钱的编史思想。他指出：“西方数学的传入，一方面使中国知识阶层开拓眼界，接触到西方的学术成就，另一方面也使本已不绝如缕的传统数学几趋灭绝。清初王锡阐、梅文鼎由于对中西数学的深入理解，有批判地吸收外来文化，既传播西方数学先进的一面，又发扬了我国传统数学固有的优点，使奄奄一息的传统数学重现生机。……李俨、钱宝琮二老在废墟上发掘残卷，并将传统内容详作评介，使有志者有书可读，有迹可寻。以我个人而言，我对传统数学的基本认识，首先得之于二老的著作。使传统数学在西算的狂风巨浪冲击之下不致从此沉沦无踪，二老之功不在王、梅二先算之下。”[50]李、钱范式的主体框架和编史实践仍然有效，现在大量的中国数学史研究成果仍是在这一范式主导下完成的。吴文俊的范式是李、钱范式的一种转移，但也是一种补充和拓展。不同范式的并存和范式转换与范式拓展的并存是中国数学史学科发展的常态，这也是中国数学史编史学连续性的体现方式。
五、结语
中国数学史的研究在中国经历了三个阶段，不同阶段有着不同的编史学观念和方法，但数学的古今关系和数学的中西关系，始终是中国数学史研究的核心性问题。第一个阶段以《畴人传》及其续编工作为代表，在评价标准上采用中国古算作为参照标准，属于中国传统学术思想主导下的数学史研究工作，力图说明传统数学的优越性和合理性，目的是要复兴或弘扬传统算法。第二个阶段以李、钱的研究为代表，以西方数学的成就作为的参照标准，采用现代数学的方法论证、说明、解释传统数学，同时继承了传统史学和文献学的方法，在其工作中，展示中国古代数学发现的优先权问题是一项重要的内容。优先权之发现的及其关注史料的整理和研究是工作的重心，实证的方法突出地得到重视。第三个阶段以吴文俊等人的研究为代表，撇开西方数学的先入之见，采用能一种够容纳中西和古今数学普适性的数学作为参照标准，以复原我国传统算法的固有的思维方式、思想方法和揭示其固有特色为目标，力图更客观地评价中国传统数学的思想、方法和成果。三个阶段的工作反映了200年来中国数学史研究者对中国数学的认识不断得到了深化的历程。
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注释
①按即秦九韶 “正负开方术”。
②按即19世纪英国的Horner法。
③见钱宝琮的一份自传材料手稿，笔者收藏。
④中国科学院自然科学史研究所图书馆收藏李俨的书信中有116封日本学者写给李俨的日文信件，日本广岛县安芸高田市教育委员会藏有1914 年至1937 年间李俨写给三上义夫的41 封信，日本早稻田大学综合图书馆藏“小仓金之助传记资料”中也有两封李俨的书信。
⑤钱宝琮致李俨信原件，现藏中国科学院自然科学史研究所李俨图书馆。
